Ўявіць сабе што такое бясконцасць, здаецца, немагчыма. Аднак матэматыкі сцвярджаюць, што гэтая навука дорыць чалавеку шанец пабыць з бясконцасцю «на ты». Так, матэматык Аляксей Савватеев называе матэматыку крокам праз бясконцасць. «Асваенне матэматыкі, - піша ён у сваёй кнізе, - гэта калі вы становіцеся з бясконцасцю« на ты ». І чым больш вы «на ты» з бясконцасцю, тым лепш вы разумееце матэматыку ». Каб зразумець, як навукоўцы ўяўляюць сабе матэматычную бясконцасць, давайце разгледзім паслядоўнасць натуральных лікаў 1, 2, 3, 4, ... якую патэнцыйна можна працягваць бясконца. Падобныя бесперапынныя працэсы, як правіла, з'яўляюцца першымі прыкладамі такога складанага паняцці як бясконцасць. Між тым, у матэматыцы працэсы, якія не маюць мяжы або канчатковай кропкі, сустракаюцца даволі часта, а само пытанне пра бясконцасці сыходзіць сваімі каранямі ў матэматыку Старажытнай Грэцыі.
гісторыя бясконцасці
Самымі раннімі разважаннямі аб матэматычнай бясконцасці, верагодна, з'яўляюцца парадоксы грэцкага філосафа Зянона. Адзін з іх (напісаны ў пятым стагоддзі да нашай эры) і датычыцца Ахілеса, самага хутканогага з усіх грэкаў, які павінен бегчы навыперадкі з чарапахай. Згодна парадокс, хуткі на ногі Ахілес ніколі не дагоніць марудлівую чарапаху, калі ў пачатку руху чарапаха знаходзіцца наперадзе Ахілеса.
Арыстоцель таксама быў занепакоены гэтай і іншымі загадкамі, якія тычацца бясконцай дзялімасці. Сусвет, думаў ён, не можа быць бясконца вялікі. Калі б гэта было так, то яе палова таксама была б бясконцай. Але што робіць усю бясконцасць больш яе паловы? Па-відаць, нічога; яны абедзве бясконцыя, таму павінны быць аднаго памеру. Але яны не могуць быць аднолькавага памеру, так як адна палова большая за другую. Арыстоцель вылучае шэраг іншых пярэчанняў і прыходзіць да высновы, што Сусвет павінна быць канчатковай. Гледзячы на зоркі над сабой, ён прыходзіць да высновы аб тым, што космас складаецца з велізарнай (але канчатковай) сферы з Зямлёй у цэнтры.
Аднак, варта было Арыстоцелю гэта прапанаваць, як нехта спытаў, што знаходзіцца на другім баку сферы. Тым не менш, гэтая ідэя падабалася людзям на працягу больш чым тысячы гадоў, што ў цэлым нядрэнна. У трэцім стагоддзі да нашай эры Архімед падлічыў, колькі пясчынак спатрэбіцца, каб запоўніць сусвет Арыстоцеля, а ў Сярэднія стагоддзя Святы Тамаш Аквінскі падтрымаў Арыстоцеля, і гэты погляд стаў асноўным для царквы.
Усё змянілася, калі Мікалай Капернік заявіў аб тым, што Зямля - ня цэнтр Сусвету. Пазней у семнаццатым стагоддзі Галілеа Галілей быў прызнаны небяспечным мысляром, так як адкрыта разважаў пра бясконцасці. Свет бясконцы, лічыў ён, а матэрыя вечная. Шмат каму пазней, у 1920-я гады нямецкі матэматык Дэвід Гільберт прыдумаў вядомы разумовы эксперымент, каб паказаць, як складана ўсвядоміць канцэпцыю бясконцасці.
Хочаце заўсёды быць у курсе апошніх навін са свету папулярнай навукі і высокіх тэхналогій? Падпісвайцеся на наш Telegram канал, каб не прапусціць свежыя анонсы навін!
Парадокс Бясконцага гатэля
Такім чынам, выкажам здагадку што вы - парцье ў гатэлі пад сімвалічнай назвай «Бясконцасць». Усе пакоі гатэля, якіх бясконцае мноства, поўныя, але раптам з'яўляецца новы госць. Няўжо прыйдзецца прагнаць яго? Не, усё што трэба - перамясціць госця з пакоя 1 у пакой 2, а госця з пакоя 2 - у пакой 3 і гэтак далей. Вуаля - першая пакой цяпер свабодная для новага госця. Але што рабіць, калі з'явіцца бясконцае мноства новых гасцей?
Аказваецца, вы па-ранейшаму можаце быць ветлівыя. Жыхар з першай пакоя пераходзіць у пакой нумар 2, а жыхар з другой пакоя пераходзіць у пакой тры і гэтак далей ... да бясконцасці. Так як нумары пакояў падвоіліся, і такім чынам сталі цотнымі лікамі, вы зараз можаце змясціць бясконца шмат новых гасцей у (цяпер свабодныя) няцотныя нумары. Цотных лікаў павінна быць столькі ж, колькі і лікаў, паколькі існуе бясконцая колькасць пакояў, незалежна ад таго, цотныя яны ці няцотныя. У выніку, мы можам змясціць ўсе лікі без астатку толькі ў «пакоі», занятыя цотнымі лікамі. Гэты разумовы эксперымент вядомы як Парадокс бясконцага гатэля, які выдатна ілюструе ўласцівасці бясконцых мностваў.
На думку стваральніка тэорыі мностваў, матэматыка Георга Кантара, існуе мноства лікаў, і гэта бясконцая колькасць лікаў апісвае шматлікія тыпы лікаў. Напрыклад, у парадоксе колькасць лікаў было такім жа, як і колькасць цотных лікаў (і няцотных лікаў, і простых лікаў, і кратных мільярду і т. Д.). Сёння гэта здаецца відавочным, аднак не было відавочным для Арыстоцеля і яго паслядоўнікаў, якія лічылі актуальную бясконцасць недапушчальным навуковым паняццем.
Тэорыя мностваў - раздзел матэматыкі, у якім вывучаюцца агульныя ўласцівасці мностваў - сукупнасцей элементаў адвольнай прыроды, якія валодаюць якім-небудзь агульным уласцівасцю.
Кантар таксама даказаў, што колькасць дробаў роўна гэтаму бясконцага ліку, якое ён назваў Алеф-нуль. Самае выдатнае, што ён даказаў (з дапамогай так званага дыяганальнага аргументу), што існуе больш за адзін бясконцага ліку.
Вам будзе цікава: Што даказвае тэарэма Пуанкаре аб вяртанні
Праца Кантара сустрэла значны супраціў, але канчаткова перамагла і зараз амаль паўсюдна прынятая. Застаецца малюсенькае меншасць матэматыкаў, званых интуиционистами або канструктывістаў, якія не вераць, што мы сапраўды можам зразумець ідэю бясконцай татальнасці. У дваццатым стагоддзі да іх далучыліся філосафы, якія задаліся пытаннем аб тым, ці можна зразумець канторовский погляд на бясконцасць. А што вы думаеце з гэтай нагоды? Адказы будзем чакаць тут, а таксама ў каментарах да гэтага артыкула.