Leyndarmál tölur: Er hægt að skilja stærðfræðilega óendanleika ∞

Ímyndaðu þér að óendanleiki virðist vera ómögulegt. Hins vegar halda stærðfræðingar að þessi vísindi gefa mann tækifæri til að vera með óendanleika "á þig." Svo, stærðfræðingurinn Alexei Savvateyev kallar stærðfræði í gegnum óendanleika. "Þróun stærðfræði," skrifar hann í bók sinni, "þetta er þegar þú verður óendanleiki" á þig. " Og því meira sem þú "á þér" með óendanleika, því betra sem þú skilur stærðfræði. " Til að skilja hvernig vísindamenn ímynda sér stærðfræðilega óendanleika, við skulum íhuga röð náttúrulegra tölur 1, 2, 3, 4, ... sem getur hugsanlega haldið endalaust. Slíkar samfelldar aðferðir eru yfirleitt fyrstu dæmi um slíkt flókið hugtak sem óendanlegt. Á meðan, í stærðfræði, ferli sem ekki hafa takmörk eða endapunkt finnast nokkuð oft, og spurningin um óendanleika sig fer með rótum sínum í stærðfræði af Grikklandi forna.

Stærðfræði gerir þér kleift að koma á sameiginlegt tungumál með svo flókið hugtak sem óendanleika.

Saga óendanleika

Fyrstu hugsanir um stærðfræðilega óendanleika eru líklega þversögnin í grísku heimspekher Zenon. Einn af þeim (skrifað á fimmtu öld til okkar) og varðar Achilles, festa allra Grikkja, sem ætti að hlaupa heillandi með skjaldbaka. Samkvæmt þversögninni mun Quick-legged Achilles aldrei ná í hægfara skjaldbaka ef skjaldbaka er fyrir framan Achilles.

Aristóteles var einnig áhyggjufullur um þetta og önnur gátur um endalausa deiluna. Alheimurinn, hugsaði hann, gat ekki verið óendanlega stór. Ef það væri svo, þá myndi helmingur hennar einnig vera óendanlegur. En hvað gerir allt óendanlegt meira en helmingur helming hennar? Apparently, ekkert; Þau eru bæði óendanlegt, þannig að það verður að vera ein stærð. En þeir geta ekki verið í sömu stærð, þar sem einn helmingur er öðruvísi. Aristóteles setur fram ýmsar aðrar mótmæli og kemur að þeirri niðurstöðu að alheimurinn ætti að vera endanleg. Þegar hann horfir á stjörnurnar yfir sjálfan sig kemur hann að þeirri niðurstöðu að alheimurinn samanstendur af miklum (en endanlegu) kúlu frá jörðinni í miðjunni.

Í langan tíma var talið að óendanleiki - það er ómögulegt að beita í stærðfræðilegum vísindum.

Hins vegar kostar það Aristóteles að stinga upp á hvernig einhver spurði hvað var á hinum megin við kúlu. Engu að síður líkaði þessi hugmynd fólk í meira en þúsund ár, sem er yfirleitt ekki slæmt. Á þriðja öld f.Kr. telur Archimeda hversu margar sandir þurfa að fylla Aristótelið alheiminn og á miðöldum, St. Thomas Aquinsky styður Aristóteles, og þessi útlit varð helsta fyrir kirkjuna.

Allt hefur breyst þegar Nikolai Copernicus sagði að landið sé ekki miðpunktur alheimsins. Seinna á sjötta öld var Galileo Galilee viðurkennt sem hættulegt hugsuður, eins og það var opinskátt endurspeglast á óendanleika. Heimurinn er óendanlegur, hann hugsaði það og málið er eilíft. Margir síðar, á 1920, þýska stærðfræðingurinn David Hilbert kom upp með fræga andlega tilraun til að sýna hversu erfitt það er að átta sig á hugmyndinni um óendanleika.

Viltu alltaf vera meðvitaðir um nýjustu fréttir frá heimi vinsælra vísinda og hátækni? Gerast áskrifandi að símskeyti rásinni okkar svo sem ekki að missa af fersku fréttatilkynningum!

Þversögn Endless Hotel

Svo, gerðu ráð fyrir að þú sért móttökustjóri á hótelinu undir táknrænu nafni "Infinity". Öll herbergin á hótelinu, sem eru óendanlega margir, eru fullir, en skyndilega birtist ný gestur. Þarftu ekki að keyra það? Nei, allt sem þú þarft er að færa gestinn úr herberginu 1 í herbergið 2, og gesturinn frá herberginu 2 er í herberginu 3 og svo framvegis. Voila - fyrsta herbergi er nú ókeypis fyrir nýja gesti. En hvað ef það verður endalaust mikið af nýjum gestum?

Það kemur í ljós að þú getur samt verið góður. Leigjendur frá fyrsta herbergi fer í herbergi númer 2, og leigjendur frá öðru herbergi fer inn í herbergið þrjú og svo framvegis ... að óendanleika. Þar sem herbergin eru með tvöfaldast herbergi, og varð þannig jafnvel tölur, geturðu nú sett óendanlega marga nýja gesti í (nú ókeypis) stakur tölur. Jafnvel tölur ættu að vera eins mikið og tölur, þar sem það er óendanlegt fjölda herbergja, óháð því hvort þau eru eða skrýtin. Þess vegna getum við sett öll tölurnar án þess að jafnvægið sé aðeins í "herbergjunum", uppteknum af jafnvel tölum. Þessi andlega tilraun er þekkt sem þversögn endalaus hótel, sem lýsir fullkomlega eiginleikum óendanlegra setna.

Rammi frá TED fyrirlestri "þversögn óendanlegs hótels", mælum við með því að skoða.

Samkvæmt skapari kenningarinnar um setur, stærðfræði Georg Kantor, það eru margar tölur, og þetta óendanlega fjöldi tölur lýsir mörgum tegundum af tölum. Til dæmis, í þversögninni var fjöldi tölva það sama og fjöldi jafna tölva (og stakur tölur og einföld tölur og margar milljarðar osfrv.). Í dag virðist það augljóst, en var ekki ljóst að Aristóteles og fylgjendur hans, sem talin raunveruleg óendanlegt óviðunandi vísindalegt hugtak.

Stilltu kenningar - hluti af stærðfræði, sem rannsóknir almennra eiginleika setanna - sett af þætti handahófskenntrar náttúru, sem hafa einhverjar algengar eignir.

Cantor sýndi einnig að fjöldi brota er jafnt við þetta óendanlega númer sem hann kallaði Aleph Zero. Mest áberandi hlutur sem hann reyndist (með hjálp svokölluðu skáhallarinnar), sem er meira en eitt óendanlegt númer.

Kraftur setur gerir þér kleift að bera saman óendanlega setur. Til dæmis, telja setur eru "lítil" óendanlega setur.

Þú verður áhuga: Hvað sannar setningin í Poincare um aftur

Verkið Kantor hitti mikla viðnám, en að lokum vann og nú samþykkt næstum alls staðar. Það er lítill minnihluti stærðfræðinga sem kallast intuionists eða byggingarefni sem trúa ekki að við getum raunverulega skilið hugmyndina um óendanlega heildar. Á tuttugustu öldinni voru heimspekingar sameinuð, sem furða um hvort Cantorsky útlitið sé skilið í óendanleika. Hvað finnst þér um þetta? Svör verða að bíða hér, svo og í athugasemdum við þessa grein.