Уявити собі що таке нескінченність, здається, неможливо. Однак математики стверджують, що ця наука дарує людині шанс побути з нескінченністю «на ти». Так, математик Олексій Савватеев називає математику кроком через нескінченність. «Освоєння математики, - пише він у своїй книзі, - це коли ви стаєте з нескінченністю« на ти ». І чим більше ви «на ти» з нескінченністю, тим краще ви розумієте математику ». Щоб зрозуміти, як вчені уявляють собі математичну нескінченність, давайте розглянемо послідовність натуральних чисел 1, 2, 3, 4, ... яку потенційно можна продовжувати нескінченно. Подібні безперервні процеси, як правило, є першими прикладами такого складного поняття як нескінченність. Тим часом, в математиці процеси, які не мають меж або кінцевої точки, зустрічаються досить часто, а саме питання про нескінченність сягає своїм корінням в математику Стародавньої Греції.
Історія нескінченності
Найранішими роздумами про математичної нескінченності, ймовірно, є парадокси грецького філософа Зенона. Один з них (написаний в п'ятому столітті до нашої ери) і стосується Ахіллеса, самого швидконогого з усіх греків, який повинен бігти наввипередки з черепахою. Згідно парадоксу, прудконогий Ахіллес ніколи не наздожене неквапливу черепаху, якщо на початку руху черепаха знаходиться попереду Ахіллеса.
Аристотель також був стурбований цією та іншими загадками, що стосуються нескінченну подільність. Всесвіт, думав він, не може бути нескінченно великою. Якби це було так, то її половина теж була б нескінченною. Але що робить всю нескінченність більше її половини? Мабуть, нічого; вони обидві нескінченні, тому повинні бути одного розміру. Але вони не можуть бути однакового розміру, так як одна половина більша за іншу. Аристотель висуває ряд інших заперечень і приходить до висновку, що Всесвіт повинен бути кінцевою. Дивлячись на зірки над собою, він приходить до висновку про те, що космос складається з величезної (але кінцевої) сфери з Землею в центрі.
Однак, варто було Арістотелем це запропонувати, як хтось запитав, що знаходиться на іншій стороні сфери. Проте, ця ідея подобалася людям протягом більш ніж тисячі років, що в цілому непогано. У третьому столітті до нашої ери Архімед підрахував, скільки піщинок потрібно, щоб заповнити всесвіт Аристотеля, а в середні віки Святий Фома Аквінський підтримав Аристотеля, і цей погляд став основним для церкви.
Все змінилося, коли Микола Коперник заявив про те, що Земля - не центр Всесвіту. Пізніше в сімнадцятому столітті Галілео Галілей був визнаний небезпечним мислителем, так як відкрито розмірковував про нескінченність. Світ нескінченний, вважав він, а матерія вічна. Багатьом пізніше, в 1920-і роки німецький математик Девід Гільберт придумав відомий уявний експеримент, щоб показати, як складно усвідомити концепцію нескінченності.
Хочете завжди бути в курсі останніх новин зі світу популярної науки і високих технологій? Підписуйтесь на наш Telegram канал, щоб не пропустити свіжі новини новин!
Парадокс нескінченного готелю
Отже, припустимо що ви - портьє в готелі під символічною назвою «Нескінченність». Всі кімнати готелю, яких безліч, сповнені, але раптом з'являється новий гість. Невже доведеться прогнати його? Ні, все що потрібно - перемістити гостя з кімнати 1 в кімнату 2, а гостя з кімнати 2 - в кімнату 3 і так далі. Вуаля - перша кімната тепер вільна для нового гостя. Але що робити, якщо з'явиться безліч нових гостей?
Виявляється, ви як і раніше можете бути люб'язні. Мешканець з першої кімнати переходить в кімнату номер 2, а мешканець з другої кімнати переходить в кімнату три і так далі ... до нескінченності. Так як номери кімнат подвоїлися, і таким чином стали парними числами, ви тепер можете помістити нескінченно багато нових гостей в (тепер вільні) непарні номери. Парних чисел повинно бути стільки ж, скільки і чисел, оскільки існує нескінченне число кімнат, незалежно від того, парні вони або непарні. В результаті, ми можемо помістити всі числа без залишку тільки в «кімнати», зайняті парними числами. Цей уявний експеримент відомий як Парадокс нескінченного готелю, який добре ілюструє властивості нескінченних множин.
На думку творця теорії множин, математика Георга Кантора, існує безліч чисел, і це нескінченна кількість чисел описує багато типів чисел. Наприклад, в парадоксі кількість чисел було таким же, як і число парних чисел (і непарних чисел, і простих чисел, і кратних мільярду і т. Д.). Сьогодні це здається очевидним, проте не було очевидним для Аристотеля і його послідовників, які вважали актуальну нескінченність неприпустимим науковим поняттям.
Теорія множин - розділ математики, в якому вивчаються загальні властивості множин - сукупностей елементів довільної природи, що володіють будь-яким загальним властивістю.
Кантор також довів, що число дробів одно цього нескінченного числа, яке він назвав алеф-нуль. Саме чудове, що він довів (за допомогою так званого діагонального аргументу), що існує більше одного нескінченного числа.
Вам буде цікаво: Що доводить теорема Пуанкаре про повернення
Робота Кантора зустріла значний опір, але остаточно перемогла і тепер майже повсюдно прийнята. Залишається крихітну меншість математиків, які називаються інтуіціоністамі або конструктивистами, які не вірять, що ми дійсно можемо зрозуміти ідею нескінченної тотальності. У двадцятому столітті до них приєдналися філософи, які задалися питанням про те, чи можна зрозуміти канторовской погляд на нескінченність. А що ви думаєте з цього приводу? Відповіді чекатимемо тут, а також в коментарях до цієї статті.