નંબર્સના રહસ્યો: શું તે ગાણિતિક અનંતને સમજવું શક્ય છે ∞

કલ્પના કરો કે અનંત અશક્ય લાગે છે. જો કે, ગણિતશાસ્ત્રીઓ દાવો કરે છે કે આ વિજ્ઞાન એક માણસને અનંત "તમારા પર રહેવાની તક આપે છે. તેથી, ગણિતશાસ્ત્રી એલેક્સી savvateyev અનંત દ્વારા ગણિતને બોલાવે છે. "ગણિતના વિકાસ," તે તેમના પુસ્તકમાં લખે છે, "જ્યારે તમે" તમારા પર "અનંત બનો છો." અને તમે અનંત સાથે વધુ "તમારા પર", તમે ગણિતને વધુ સારી રીતે સમજો છો. " કેવી રીતે વૈજ્ઞાનિકો ગાણિતિક અનંતની કલ્પના કરે છે તે સમજવા માટે, ચાલો નેચરલ નંબર્સ 1, 2, 3, 4 નું અનુક્રમણિકા ધ્યાનમાં લઈએ ... જે સંભવિત રૂપે અનંત રીતે ચાલુ રાખી શકે છે. આવી સતત પ્રક્રિયાઓ સામાન્ય રીતે આવા જટિલ ખ્યાલના પ્રથમ ઉદાહરણો અનંત તરીકે હોય છે. દરમિયાન, ગણિતમાં, એવી પ્રક્રિયાઓ કે જેની પાસે મર્યાદા અથવા અંતિમ બિંદુ હોતી નથી, અને અનંતનો પ્રશ્ન પ્રાચીન ગ્રીસના ગણિતમાં તેની મૂળ સાથે જાય છે.

ગણિતશાસ્ત્ર તમને અનંત તરીકે આવા જટિલ ખ્યાલથી એક સામાન્ય ભાષા સ્થાપિત કરવા દે છે.

અનંતનો ઇતિહાસ

ગાણિતિક અનંત પરના પ્રારંભિક પ્રતિબિંબ સંભવતઃ ઝેનનના ગ્રીક ફિલસૂફના વિરોધાભાસ છે. તેમાંના એક (પાંચમી સદીમાં અમારા યુગમાં લખેલા) અને એચિલીસને ચિંતા કરે છે, જે તમામ ગ્રીક લોકોનો સૌથી ઝડપી છે, જે એક કાચબા સાથે મોહક ચલાવશે. વિરોધાભાસ મુજબ, ટર્ટલ એચિલીસની સામે હોય તો ઝડપી-પગવાળા એચિલીઓ ક્યારેય આરામદાયક ટર્ટલથી પકડશે નહીં.

એરિસ્ટોટલ પણ આ અને અનંત વિભાજીતતાને લગતી અન્ય ઉદ્દેશો વિશે પણ ચિંતિત હતા. બ્રહ્માંડ, તેમણે વિચાર્યું, અનંત રીતે મોટું ન હોઈ શકે. જો તે હોત તો, તેના અડધા પણ અનંત હશે. પરંતુ તેનાથી અડધાથી અડધાથી વધુ અનંત બનાવે છે? દેખીતી રીતે, કશું નહીં; તેઓ બંને અનંત છે, તેથી એક કદ હોવું જ જોઈએ. પરંતુ તેઓ એક જ કદ હોઈ શકતા નથી, કારણ કે એક અડધા વધુ અલગ છે. એરિસ્ટોટલ અન્ય ઘણાં વાંધાઓ આગળ મૂકે છે અને તે નિષ્કર્ષ પર આવે છે કે બ્રહ્માંડ અંતિમ હોવું જોઈએ. પોતાને ઉપર તારાઓ તરફ જોતાં, તે નિષ્કર્ષ પર આવે છે કે બ્રહ્માંડમાં મધ્યમાં જમીન પરથી વિશાળ (પરંતુ મર્યાદિત) ક્ષેત્રનો સમાવેશ થાય છે.

લાંબા સમય સુધી એવું માનવામાં આવતું હતું કે અનંતતા - ગાણિતિક વિજ્ઞાનમાં અરજી કરવી અશક્ય છે.

જો કે, તે સૂચવવા માટે એરિસ્ટોટલનો ખર્ચ કરે છે કે કોઈએ કેવી રીતે પૂછ્યું કે ગોળાના બીજા બાજુ પર શું હતું. તેમછતાં પણ, આ વિચાર લોકોને હજાર વર્ષથી વધુ ગમતો, જે સામાન્ય રીતે ખરાબ નથી. ત્રીજી સદીમાં બીસીમાં, આર્કિમેડાએ ગણતરી કરી હતી કે એરિસ્ટોટલ બ્રહ્માંડને ભરવા માટે કેટલા સેન્ડ્સની જરૂર પડશે, અને મધ્ય યુગમાં, સેન્ટ થોમસ એક્વિન્સ્કીએ એરિસ્ટોટલને ટેકો આપ્યો હતો, અને આ દેખાવ ચર્ચ માટે મુખ્ય બન્યું.

નિકોલાઇ કોપરનિકસસે કહ્યું કે બધું બદલાઈ ગયું છે જ્યારે જમીન બ્રહ્માંડનું કેન્દ્ર નથી. પાછળથી સત્તરમી સદીમાં, ગેલેલીયો ગાલીલીને ખતરનાક વિચારક તરીકે ઓળખવામાં આવ્યું હતું, કારણ કે તે ખુલ્લી રીતે અનંત પર પ્રતિબિંબિત થયો હતો. વિશ્વ અનંત છે, તે તેને માનતો હતો, અને બાબત શાશ્વત છે. ઘણા લોકો પછીથી, 1920 ના દાયકામાં, જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી ડેવિડ હિલ્બર્ટ એક પ્રસિદ્ધ માનસિક પ્રયોગ સાથે આવ્યા હતા કે તે બતાવવા માટે કે અનંતતાના ખ્યાલને સમજવું કેટલું મુશ્કેલ છે.

લોકપ્રિય વિજ્ઞાન અને ઉચ્ચ તકનીકની દુનિયાના નવીનતમ સમાચાર વિશે હંમેશાં પરિચિત થવું છે? અમારા ટેલિગ્રામ ચેનલમાં સબ્સ્ક્રાઇબ કરો જેથી તાજા સમાચાર ઘોષણાને ચૂકી ન શકાય!

અનંત હોટેલના વિરોધાભાસ

તેથી, ધારો કે તમે હોટલમાં સાંકેતિક નામ "અનંત" હેઠળ એક રિસેપ્શનિસ્ટ છો. હોટેલના બધા રૂમ, જે અનંત ઘણા છે, સંપૂર્ણ છે, પરંતુ અચાનક એક નવું મહેમાન દેખાય છે. તેને ચલાવવાની જરૂર નથી? ના, તમારે જે જોઈએ તે બધું જ રૂમ 1 થી રૂમ 2 સુધી ખસેડવું છે, અને રૂમ 2 માંથી મહેમાન રૂમમાં 3 અને તેથી વધુ છે. વૉઇલા - પ્રથમ રૂમ હવે નવા મહેમાન માટે મફત છે. પરંતુ જો નવા મહેમાનોને અનંત ઘણાં હશે તો શું?

તે તારણ આપે છે કે તમે હજી પણ પ્રકારની હોઈ શકો છો. પ્રથમ રૂમના ભાડૂતો રૂમ નંબર 2 માં જાય છે, અને બીજા ઓરડાના ભાડૂતો ત્રણ રૂમમાં જાય છે ... અનંત સુધી. કારણ કે રૂમમાં બમણો રૂમ છે, અને આમ પણ સંખ્યાઓ બની ગયા છે, હવે તમે અસંખ્ય નવા મહેમાનો (હવે મફત) વિચિત્ર નંબરોમાં મૂકી શકો છો. સંખ્યાઓ પણ સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ, કારણ કે ત્યાં અસંખ્ય રૂમ છે, પછી ભલે તે અથવા વિચિત્ર હોય. પરિણામે, આપણે બધા નંબરોને ફક્ત "રૂમ" માં સંતુલન વિના મૂકી શકીએ છીએ, જે પણ સંખ્યાઓ દ્વારા કબજે કરે છે. આ માનસિક પ્રયોગને અનંત હોટેલના વિરોધાભાસ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જે અનંત સેટ્સના ગુણધર્મોને સંપૂર્ણપણે સમજાવે છે.

ટેડ લેક્ચર "અનંત હોટેલના વિરોધાભાસ" માંથી ફ્રેમ, અમે જોવાની ભલામણ કરીએ છીએ.

સેટ્સ ઓફ ધ થિયરીના નિર્માતા અનુસાર, ગણિતશાસ્ત્ર જ્યોર્જ કેન્ટોર, ત્યાં ઘણા નંબરો છે, અને આ અનંત સંખ્યામાં સંખ્યાબંધ પ્રકારો વર્ણવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વિરોધાભાસમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા સંખ્યા (અને વિચિત્ર સંખ્યાઓ અને સરળ સંખ્યાઓ અને બહુવિધ અબજો, વગેરે) ની સંખ્યા જેટલી જ હતી. આજે તે સ્પષ્ટ લાગે છે, પરંતુ એરીસ્ટોટલ અને તેના અનુયાયીઓ માટે સ્પષ્ટ નથી, જેમણે અસ્વીકાર્ય વૈજ્ઞાનિક ખ્યાલની વાસ્તવિક અનંતતાને માનતા હતા.

સિદ્ધાંત સેટ કરો - ગણિતના વિભાગ, જે સેટ્સના સામાન્ય ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરે છે - મનસ્વી સ્વભાવના તત્વોના સેટ્સ, જેમાં કોઈ સામાન્ય મિલકત હોય છે.

કેન્ટોર એ પણ સાબિત કરે છે કે અપૂર્ણાંકની સંખ્યા આ અનંત સંખ્યા સમાન છે જે તેણે એલ્ફ શૂન્ય તરીકે ઓળખાય છે. તે સૌથી નોંધપાત્ર વસ્તુ સાબિત કરે છે (કહેવાતા કર્ણાત્મક દલીલની મદદથી), જે એકથી વધુ અનંત સંખ્યામાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

પાવર સેટ્સ તમને અનંત સેટની સરખામણી કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગણતરી સેટ્સ સૌથી વધુ "નાના" અનંત સેટ્સ છે.

તમને રસ હશે: રીતની રીતની થિયોરેમ શું સાબિત કરે છે

કેન્ટરનું કામ નોંધપાત્ર પ્રતિકાર મળ્યું, પરંતુ અંતે જીત્યું અને હવે લગભગ દરેક જગ્યાએ સ્વીકાર્યું. ત્યાં એક નાના લઘુમતી ઓફ ગણિતશાસ્ત્રીઓ છે જેને ઇન્ટુનિયનવાદીઓ અથવા રચનાત્મક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે જે માનતા નથી કે અમે ખરેખર અનંત સંપૂર્ણતાના વિચારને સમજી શકીએ છીએ. વીસમી સદીમાં, ફિલસૂફો જોડાયા હતા, જેમણે આશ્ચર્ય વ્યક્ત કર્યું કે કેન્ટૉર્સકી દેખાવ અનંતમાં સમજી શકાય છે કે નહીં. તમે આ વિશે શું વિચારો છો? જવાબો અહીં રાહ જોવી પડશે, તેમજ આ લેખની ટિપ્પણીઓમાં.