Tasavvur qiling, cheksizlik imkonsiz ko'rinadi. Biroq, matematiklarning ta'kidlashicha, bu fan odamga "sizga" sizga "cheksizlik bilan bo'lish imkoniyatini beradi". Shunday qilib, matematik Aleksey Savveytevyev cheksizlik orqali matematikani chaqiradi. "Matematikani rivojlantirish", - deb yozadi u, "bu sizdan cheksiz bo'lib qolganda". Va ko'proq "sizga" cheksizlik bilan, matematikani tushunganingiz yaxshiroq. " Olimlar matematik infinatsiyani tasavvur qilishlarini tushunish, keling, 1, 2, 3, 4, ... bu juda tez-tez davom etadigan tabiiy sonlar ketma-ketligini ko'rib chiqaylik. Bunday uzluksiz jarayonlar odatda bu murakkab tushunchaning cheksizligi kabi birinchi misollardir. Shu bilan birga, matematikadan, cheklovga ega bo'lmagan yoki oxirgi nuqta tez-tez uchraydi va cheksizlikning o'zi qadimgi Yunoniston matematikasida ildizi bilan chiqadi.
Cheksizlik tarixi
Matematik infektsiyaning eng qadimgi fikrlari, ehtimol, Zenon faylasufining paradoklari. Ulardan biri (beshinchi asrda bizning davrimizda yozilgan) va toshbaqa bilan maftunkor yashashi kerak bo'lgan barcha yunonlarning eng tezkor bo'lgan Axilles bilan bog'liq. Paradoksning so'zlariga ko'ra, tez oyoqli Axilles, agar toshbaqalar Axilles oldida bo'lsa, bemalol toshbaqani hech qachon ushlamaydi.
Aristotel, shuningdek, bu va boshqa chaqiriqlar cheksiz ajralish bilan bog'liq. U o'ylagan koinot cheksiz katta bo'lolmaydi. Agar u shunday bo'lsa, uning yarmi ham cheksiz bo'ladi. Ammo butun cheksizlikning yarmidan ko'pini nimaga olib keladi? Aftidan, hech narsa yo'q; Ular ikkalasi ham cheksiz, shuning uchun bitta o'lcham bo'lishi kerak. Ammo ular bir xil o'lchamda bo'lolmaydi, chunki yarim yarmi ko'proq farq qiladi. Aristotel boshqa boshqa e'tirozlarni ilgari suradi va koinotning yakuniy bo'lishi kerak degan xulosaga keladi. Yulduzlarga o'zi qarab, markazdagi kosmoslar ulkan (ammo cheklangan) sohadan iborat degan xulosaga kelishdi.
Biroq, bu Aristotelning shaxsiy sohaning boshqa tomonida nima deganini aytib berishini taklif qiladi. Shunga qaramay, bu g'oya odamlarni ming yildan ko'proq vaqt davomida yoqdi, bu umuman yomon emas. Miloddan avvalgi XVII asrda Arximeda Aristotel koinotini to'ldirish uchun qancha qumlar, Sent-Tomas Aquinskiy Aristotelni qo'llab-quvvatladi va bu ko'rinishi cherkov uchun asosiy bo'ldi.
Nikolay Kopernikus, bu er koinotning markazi emasligini aytganda hamma narsa o'zgardi. Keyin XVII asrda Galiley Galila xavfli mutafakkir sifatida tan olingan, chunki bu cheksizlikda ochiq aks ettirilgan. Dunyo cheksiz, u buni ko'rib chiqdi va materiya abadiydir. Keyinchalik, 1920-yillarda nemis matematiki David Xilbert cheksizlik tushunchasini amalga oshirish qanchalik qiyinligini ko'rsatish uchun mashhur ruhiy tajribaga ega.
Ommabop fani va yuqori texnologiyalar dunyosining so'nggi yangiliklaridan xabardor bo'lishni xohlaysizmi? Yangi yangiliklar e'lonlarini o'tkazib yubormaslik uchun bizning telegram kanaliga obuna bo'ling!
Cheksiz mehmonxonaning paradoks
Shunday qilib, siz mehmonxonada "Cheksizlik" nomli mehmonxonada qabulxonada qabul qilasiz. Ko'pchilik cheksiz mehmonxonaning barcha xonalari to'la, ammo to'satdan yangi mehmon paydo bo'ldi. Uni haydashga majbur emasmi? Yo'q, sizga kerak bo'lgan hamma narsa mehmonni 1-xonadan 2-xonagacha siljitish va xonadagi mehmon 3-xonada va undan ham xonada. VOALA - Yangi mehmon uchun birinchi xona bepul. Ammo cheksiz ko'p yangi mehmonlar bo'ladimi?
Siz hali ham mehribon bo'lishingiz mumkinligi ayon bo'ladi. Birinchi xonaning ijarachilari 2-xonaga kirib, ikkinchi xonada ijarachilar uch-xonaga kirib, infinitizmga boradilar. Xonalar ikki baravar ko'p bo'lgan xonalarga ega bo'lib, shu bilan ham raqamlar bo'lib, endi siz juda ko'p yangi mehmonlarni (hozir bepul) toq sonlarda joylashtira olasiz. Hatto raqamlar ham ko'p bo'lishi kerak, chunki ular yoki g'alati yoki g'alati bo'lmasdan qat'i nazar, cheksiz sonli xonalar mavjud. Natijada, biz barcha raqamlarni faqat raqamlar egallab turgan "xonalar" da qolmaymiz. Bu ruhiy eksperiment cheksiz mehmonxona paradoksi deb nomlanadi, bu cheksiz to'plamlarning xususiyatlarini juda yaxshi tasvirlaydi.
Umumiy belgilar nazariyotchisi, matematik georg kantorining so'zlariga ko'ra, ko'plab raqamlar mavjud va bu cheksiz sonlar ko'plab raqamlarni tavsiflaydi. Masalan, paradoksda raqamlar soni hatto raqamlar (va toq raqamlar va oddiy raqamlar, bir nechta milliardlab va boshqalar) bilan bir xil edi. Bugungi kunda bu aniq ko'rinadi, ammo Aristotel va uning izdoshlari oldida nomaqbul ilmiy tushunchaning cheksiz infektsiyasini hisobga olgan holda.
To'plamlarning umumiy xususiyatlarini o'rganadigan - bu umumiy mulkka ega bo'lgan o'zboshimchalik asosiy xususiyatlari to'plamlari to'plamini belgilash nazariyasi.
Kantor, shuningdek, fraktsiyalar soni, u alf nol deb nomlangan ushbu cheksiz songa teng ekanligini isbotladi. U eng ajoyib narsa (diagonal argument), bu bir nechta cheksiz sondan iborat.
Sizni qiziqtirasiz: Poleydarning qaytishi haqida nima tasdiqlaydi
Kantorning ishi sezilarli qarshilikka duch keldi, ammo nihoyat g'alaba qozondi va endi deyarli hamma joyda qabul qilindi. Cheksiz yig'ish g'oyasini chindan ham tushunishimiz uchun biz ishonmaydigan intuionistlar yoki konstruktorlar deb ataladigan mayda ozchilikning ozgina ozchiliklari mavjud. Yigirmanchi asrda faylasuflar qo'shilishdi, Kantskiy ko'rinishi cheksiz ko'rinishga ega bo'lishlari haqida o'ylashgan. Bu haqda nima deb o'ylaysiz? Javoblar bu erda, shuningdek, ushbu maqolaga sharhlar beriladi.